パラメータ表示された曲線に沿う線積分

問題 0123 パラメータ表示された曲線に沿う線積分

ベクトル場 $\bm{F}=(P,Q)$ に対する線積分は $\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy$ で定義される。曲線 $C$ がパラメータ表示 $x=x(t)$, $y=y(t)$ $(a\leq t\leq b)$ で与えられるとき、$dx=x^{\prime}(t)\,dt$, $dy=y^{\prime}(t)\,dt$ を代入して $t$ の定積分に帰着させて計算せよ。

ベクトル場 $\bm{F}(x,y)=(y,x^{2})$ について、曲線 $C$: $x=t$, $y=t^{2}$ $(0\leq t\leq 1)$ に沿う線積分

$$\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}=\int_{C}y\,dx+x^{2}\,dy$$

を求めよ。