グリーンの定理による閉曲線に沿う線積分の計算

問題 0124 グリーンの定理による閉曲線に沿う線積分の計算

$C$ を原点を中心とする半径 $2$ の円周（反時計回り、正の向き）とするとき、グリーンの定理

$$\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$

を用いて、次の線積分を求めよ。

$$\oint_{C}\left(x^{2}y\right)dx+\left(xy^{2}+2x\right)dy$$