保存場の判定とポテンシャル関数による線積分の計算

問題 0125 保存場の判定とポテンシャル関数による線積分の計算

ベクトル場

$$\bm{F}(x,y)=\left(2xy+\cos x,\;x^{2}+2y\right)$$

について、以下の問に答えよ。

1. 1.

   $\bm{F}$ が保存場（$\bm{F}=\nabla\phi$ となるポテンシャル $\phi$ が存在する場）であることを、$xy$ 平面全体で $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ が成り立つことを示すことで確認せよ。

2. 2.

   ポテンシャル関数 $\phi(x,y)$（$\bm{F}=\nabla\phi$、すなわち $\phi_{x}=P$, $\phi_{y}=Q$）を求めよ。

3. 3.

   経路によらないことを用いて、点 $(0,0)$ から点 $(1,\pi)$ までの任意の滑らかな曲線 $C$ に沿う線積分 $\displaystyle\int_{C}\bm{F}\cdot d\bm{r}$ を求めよ。