0001 放物線と直線で囲まれた面積（解答）

解答 0001 放物線と直線で囲まれた面積

1. 1.

   共有点は $x^2=x+2$ の解に対応する。

   $$x^2-x-2=0\iff (x+1)(x-2)=0\iff x=-1,2$$

   それぞれ $\mathrm{\ell }$（または $C$）に代入して

   $$x=-1⟹y=1,x=2⟹y=4$$

   したがって共有点は $(-1,1)$、$(2,4)$ である。

2. 2.

   $-1\le x\le 2$ の範囲では $x+2\ge x^2$（区間の内部で $x^2-x-2=(x+1)(x-2)\le 0$ となることから確認できる）ので、 $\mathrm{\ell }$ が $C$ の上側にある。よって

   $$S={\int }_{-1}^2\left\{(x+2)-x^2\right\}𝑑x={\int }_{-1}^2\left\{-(x+1)(x-2)\right\}𝑑x.$$

   ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}-(x-\alpha )(x-\beta )dx={\displaystyle \frac{{(\beta -\alpha )}^3}{6}}$ の公式（$\alpha =-1,\beta =2$）を用いると

   $$S=\frac{{(2-(-1))}^3}{6}=\frac{3^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

   検算（公式を使わず直接計算する）:

   $${\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)𝑑x={\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^2.$$

   $x=2$ のとき $-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2+4=-{\displaystyle \frac{8}{3}}+6={\displaystyle \frac{10}{3}}$。

   $x=-1$ のとき $-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-2={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{12}{6}}=-{\displaystyle \frac{7}{6}}$。

   よって

   $$S=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

   公式を用いた結果と一致するので、$S={\displaystyle \frac{9}{2}}$ である。