3次対称行列の固有値・固有ベクトルと直交対角化

問題 0075 3次対称行列の固有値・固有ベクトルと直交対角化

次の対称行列 $A$ の固有値・固有ベクトルを求め、直交行列 $P$ を用いて直交対角化 $P^{\mathrm{T}}AP=D$ を行え。導出過程を明示せよ。

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$$