実対称行列の直交対角化と二次形式・行列べき乗

問題 0001 実対称行列の直交対角化と二次形式・行列べき乗

実対称行列

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$$

を考える。

1. 1.

   $A$ の固有値をすべて求めよ。また、各固有値に対応する固有空間の 正規直交基底を 1 組求めよ。

2. 2.

   前問の結果を用いて、直交行列 $P$ と対角行列 $D$ で $P^{\top}AP=D$ を満たすものを 1 組構成せよ。

3. 3.

   $\bm{x}\in\mathbb{R}^{3}$ が $\|\bm{x}\|=1$ を満たしながら動くとき、 二次形式 $\bm{x}^{\top}A\bm{x}$ の最大値と最小値を求めよ。また、 それぞれの値を実現する $\bm{x}$ をすべて求めよ。

4. 4.

   正の整数 $n$ に対して、$A^{n}$ の $(1,1)$ 成分と $(1,2)$ 成分を $n$ の式として求めよ。