非同次オイラー方程式（コーシー・オイラー方程式）の初期値問題（重根・非同次項 ln x）

問題 0040 非同次オイラー方程式（コーシー・オイラー方程式）の初期値問題（重根・非同次項 $\ln x$）

次の非同次オイラー方程式の初期値問題を解け（$x>0$）。

$$x^{2}y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=\ln x,\qquad y(1)=1,\quad y^{\prime}(1)=0$$