エルミート方程式（n=2）の初期値問題の多項式解

問題 0052 エルミート方程式（n=2）の初期値問題の多項式解

エルミート方程式

$$y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2ny=0$$

において $n=2$ とし、初期条件 $y(0)=-2,\ y^{\prime}(0)=0$ を満たす解を求めよ。$x=0$ を正則点として $y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ とおいて係数の漸化式を導き、この初期条件のもとで級数が有限項で終わる（多項式になる）ことを確かめたうえで、$y$ を $x$ の多項式として具体的に求めよ。