ルジャンドル方程式（n=2）の多項式解とルジャンドル多項式 P_2(x)

問題 0051 ルジャンドル方程式（$n=2$）の多項式解とルジャンドル多項式 $P_{2}(x)$

ルジャンドル方程式

$$(1-x^{2})y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+n(n+1)y=0$$

において $n=2$ とする。$x=0$ を正則点として $y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ とおき、方程式に代入して係数 $a_{k}$ の間の漸化式を導け。そのうえで $a_{1}=0$ の場合に得られる多項式解（偶数次のみからなる有限級数）を、$a_{0}$ を用いて表せ。またこれを定数倍して $x=1$ で値 $1$ をとるように正規化した多項式（ルジャンドル多項式 $P_{2}(x)$）を求めよ。