ガウス型積分の奇関数・偶関数モーメント（パラメータ微分）

問題 0115 ガウス型積分の奇関数・偶関数モーメント（パラメータ微分）

$a>0$ とする。次の積分の値を求めよ。導出過程を明示すること。

$$\text{(1)}\quad\int_{0}^{\infty}x\,e^{-ax^{2}}\,dx\qquad\qquad\text{(2)}\quad\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,e^{-ax^{2}}\,dx$$