ガウス積分の極座標変換による導出とそのスケーリング

問題 0114 ガウス積分の極座標変換による導出とそのスケーリング

次のガウス積分の値を、2重積分と極座標変換を用いて導出せよ。導出過程を明示すること。

$$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$$

さらに、これを用いて $a>0$ に対する

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\,dx$$

の値を求めよ。