矩形パルス関数のフーリエ変換とsinc関数

問題 0113 矩形パルス関数のフーリエ変換とsinc関数

高さ $1$、幅 $2a$ の矩形パルス関数

$$f(x)=\begin{cases}1&(|x|\leq a)\\ 0&(|x|>a)\end{cases}$$

のフーリエ変換

$$F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-ikx}\,dx$$

を求め、$F(k)$ が $\mathrm{sinc}$ 関数（$\mathrm{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$、$\mathrm{sinc}(0)=1$）を用いて表せることを示せ。また $\displaystyle\lim_{k\to 0}F(k)$ を求めよ。