極座標変換と球座標変換のヤコビ行列式

問題 0117 極座標変換と球座標変換のヤコビ行列式

座標変換 $(x,y)\to(u,v)$（あるいは3変数の場合はこれに準ずる）に対するヤコビ行列式は

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[5.69054pt] \dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}$$

で定義され、重積分の変数変換公式

$$\iint_{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D^{\prime}}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv$$

に用いられる。極座標変換 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ および球座標変換 $x=r\sin\theta\cos\varphi,\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\ z=r\cos\theta$ について、それぞれのヤコビ行列式 $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$ および $\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}$ を、導出過程を示して求めよ。