ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列多項式 A^5 - A^2 - 16A の計算

問題 0080 ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列多項式 $A^{5}-A^{2}-16A$ の計算

行列 $A=\begin{pmatrix}1&2\\ 2&1\end{pmatrix}$ について、ケーリー・ハミルトンの定理（$A$ の固有多項式 $\varphi(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ に対し $\varphi(A)=O$ が成り立つ）を用いて $A^{5}-A^{2}-16A$ を計算せよ。計算過程を示すこと。