極座標変換によるラプラシアンの極座標表示の導出

問題 0110 極座標変換によるラプラシアンの極座標表示の導出

$z=f(x,y)$ に対し、極座標変換 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ を行うとき、2階偏微分について次の関係式が成り立つことを示せ。

$$\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}z}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial z}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}z}{\partial\theta^{2}}.$$