熱伝導方程式の初期値・境界値問題（ディリクレ境界条件、単一固有モード）

問題 0062 熱伝導方程式の初期値・境界値問題（ディリクレ境界条件、単一固有モード）

次の熱伝導方程式の初期値・境界値問題を、変数分離法により解け。導出過程を示すこと。

$$u_{t}=k\,u_{xx}\qquad(0<x<L,\ t>0)$$

$$u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0\qquad(t>0)$$

$$u(x,0)=\sin\frac{\pi x}{L}\qquad(0\leq x\leq L)$$