波動方程式（両端固定）の初期値・境界値問題（初期変位が基本固有関数の場合）

問題 0068 波動方程式（両端固定）の初期値・境界値問題（初期変位が基本固有関数の場合）

次の波動方程式の初期値・境界値問題を解け。導出過程を示すこと。

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad(0<x<L,\ t>0)$$

$$u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0\qquad(t>0)$$

$$u(x,0)=\sin\frac{\pi x}{L},\qquad\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0\qquad(0\leq x\leq L)$$