ラプラス方程式の境界値問題（円板領域、極座標での有界解）

問題 0067 ラプラス方程式の境界値問題（円板領域、極座標での有界解）

半径 $3$ の円板 $D=\{(r,\theta)\mid 0\leq r<3\}$ における次の境界値問題を、極座標形式のラプラス方程式

$$u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0$$

のもとで、変数分離法を用いて解け。ただし $u$ は円板内で有界とする。

$$u(3,\theta)=4+6\cos\theta-3\sin 2\theta\qquad(0\leq\theta<2\pi)$$