ラプラス方程式の境界値問題（矩形領域、上辺条件が単一のフーリエ正弦項）

問題 0066 ラプラス方程式の境界値問題（矩形領域、上辺条件が単一のフーリエ正弦項）

次の境界値問題について、変数分離法を用いて調和関数 $u$ を求め、導出過程を示せ。

$$u_{xx}+u_{yy}=0\qquad(0<x<\pi,\ 0<y<2)$$

$$u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=0,\quad u(x,2)=5\sin 3x$$