ラプラス方程式の境界値問題（矩形領域、上辺条件が二次関数）

問題 0065 ラプラス方程式の境界値問題（矩形領域、上辺条件が二次関数）

次の境界値問題について、変数分離法を用いて調和関数 $u$ を求め、導出過程を示せ。

$$u_{xx}+u_{yy}=0\qquad(0<x<\pi,\ 0<y<1)$$

$$u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=0,\quad u(x,1)=x(\pi-x)$$