波動方程式（両端固定）における単一モードの初期速度に対する解

問題 0070 波動方程式（両端固定）における単一モードの初期速度に対する解

次の波動方程式の初期値・境界値問題を解け。導出過程を示すこと。

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad(0<x<L,\ t>0)$$

$$u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0\qquad(t>0)$$

$$u(x,0)=0,\qquad\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_{0}\sin\frac{3\pi x}{L}\qquad(0\leq x\leq L)$$

（初期変位は $0$、初期速度が $v_{0}\sin\dfrac{3\pi x}{L}$ で与えられる、いわゆる「打弦」型の初期条件。）解 $u(x,t)$ を求めよ。