波動方程式（両端固定）における三角波状初期変位のフーリエ級数解

問題 0069 波動方程式（両端固定）における三角波状初期変位のフーリエ級数解

次の波動方程式の初期値・境界値問題を解け。導出過程を示すこと。

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad(0<x<L,\ t>0)$$

$$u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0\qquad(t>0)$$

$$u(x,0)=f(x),\qquad\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0\qquad(0\leq x\leq L)$$

ただし初期変位は

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{2h}{L}\,x&\left(0\leq x\leq\dfrac{L}{2}\right)\\[5.69054pt] \dfrac{2h}{L}\,(L-x)&\left(\dfrac{L}{2}\leq x\leq L\right)\end{cases}$$

（弦の中点を高さ $h$ だけ持ち上げて静かに放した状態）で与えられるとする。フーリエ正弦級数の係数 $b_{n}$ を求め、解 $u(x,t)$ を級数の形で表せ。