波動方程式の一般解（ダランベールの解の導出）

問題 0059 波動方程式の一般解（ダランベールの解の導出）

次の波動方程式（無限区間）に関する問いに答えよ。

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad(-\infty<x<\infty,\ t>0)$$

特性変数 $\xi=x-ct$, $\eta=x+ct$ を用いて変数変換を行い、一般解が

$$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$

の形で表されることを導け（$f$, $g$ は任意の $C^{2}$ 級関数）。