初期変位のみを持つ波動方程式のダランベールの公式による解

問題 0060 初期変位のみを持つ波動方程式のダランベールの公式による解

波動方程式 $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ が初期条件

$$u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_{t}(x,0)=0$$

（初期変位のみ、初期速度なし）を満たすとき、$u(x,t)$ をダランベールの公式を用いて $\varphi$ で表せ。特に $\varphi(x)=e^{-x^{2}}$、$c=2$ のときの $u(x,t)$ を具体的に求めよ。